W codziennym życiu spotykamy się nie tylko z koniecznością dyskontowania pojedynczych płatności, ale i ich ciągów. Płatności te, określane rentami, dotyczą zarówno wpłat, jak i wypłat. Jeśli są zaś dokonywane w równych odstępach czasu, to nazywane są annuitami. Kiedy mamy do czynienia z rentami? Płatności w formie wypłat to najczęściej raty zaciągniętych kredytów i pożyczek, ale i abonamenty telefoniczne, opłaty z tytułu czynszu czy też podatki). Płatności w formie wpłat to zaś najczęściej przychody z tytułu zrealizowanych inwestycji, ale także odsetki od kapitałów pieniężnych. Warto mieć także na uwadze, że wpłaty u jednego podmiotu są wypłatami u drugiego.
Przykład 1:
Kowalski pożyczył Nowakowi pieniądze, które mają zostać zwrócone w 4 rocznych ratach po 150 zł. Okazało się jednak, że Nowak może zwrócić je już teraz. Zaproponował, że odda 500 zł jednorazowo. Czy propozycja jest dla Kowalskiego korzystna? Oprocentowanie lokat w bankach wynosi 7%.
Oznaczenia:
Ki – przepływ pieniężny w i-tym okresie
r – oprocentowanie
Rozwiązaniem tego przykładu jest obliczenie wartości bieżącej przyszłych przepływów pieniężnych oraz porównanie ich sumy z kwotą 500 zł. Zacznijmy zatem od dyskontowania.
PV1 + PV2 + PV3 + PV4 = 150/(1 + 4*0,07) + 150/(1 + 3*0,07) + 150/(1 + 2*0,07) + 150/(1 + 1*0,07) = 150/1,28 + 150/1,21 + 150/1,14 + 150/1,07 = 512,92 zł
Wartość bieżąca spłacanych rat w przyszłości to 512,92 zł. Nowak proponuje jedynie 500 zł. Jest to zatem propozycja niekorzystna dla Kowalskiego.
Przykład 2:
Kowalski ma do wyboru dwie oferty ulokowania środków na okres jednego roku. Bank X proponuje oprocentowanie lokaty w wysokości 6% i odsetki płatne na koniec okresu deponowania, natomiast Bank Y proponuje oprocentowanie w wysokości 5% i odsetki płatne z góry w chwili zakładania lokaty. Która oferta jest dla Kowalskiego korzystniejsza? Kowalski na lokatę chce wpłacić 10 000 zł.
Nie jest to typowe zadanie z tematyki rent prostych, niemniej mamy tu do czynienia z dyskontowaniem lub liczeniem wartości przyszłej (do wyboru). Skorzystamy z możliwości liczenia wartości przyszłej. Kowalski może otrzymać z Banku X za rok 10 600 zł. Może także otrzymać 500 zł już w Banku Y i 10 000 za rok. Korzystając z oferty Banku Y może dodatkowo wpłacić 500 zł do Banku X na lokatę. Sprawdźmy jaki zysk by ta operacja wygenerowała.
Zysk = 500 * (1 + 0,05)
Zysk = 525 zł
Z powyższego rozumowania i obliczenia wynika, że Kowalski powinien skorzystać z oferty Banku X, ponieważ jest ona korzystniejsza finansowo.
Załóżmy teraz, że Kowalski skorzystał z oferty Banku X. Po pół roku chciałby się dowiedzieć ile są warte jego oszczędności. By odpowiedzieć na to pytanie możemy skorzystać z wzoru na FV lub dokonać dyskontowania. Skorzystamy z drugiej możliwości.
PV = 10 600 / (1 + (1 – 1/2) * 0,06)
PV = 10 600 / 1,03
PV = 10 291,26 zł
Wynika z tego, że Kowalski po pół roku posiada 10 291,26 zł. Wynik ten jednak nie jest poprawny. Dlaczego? Wprowadziliśmy tu bowiem mimochodem założenie dyskontowania składanego. I na to chciałbym uczulić wszystkich. Rozwiązując zadanie należy dokładnie zapoznać się z założeniami. Prawidłowym rozwiązaniem tego zadania jest wynik 10 300 zł – zysk roczny 600 zł należy jedynie podzielić przez 0,5 (okres taki minął od rozpoczęcia oszczędzania).
Przykład 3:
Firma zamierza zainwestować 250 000 zł w nową linię produkcyjną. Spodziewane zyski z inwestycji w kolejnych latach przedstawiają się następująco:
1 – 0 PLN
2 – 50 000 PLN
3 – 100 000 PLN
4 – 100 000 PLN
5 – 70 000 PLN
6 – 20 000 PLN
Stopa wolna od ryzyka wynosi 8%, czy inwestycja firmy jest opłacalna?
By odpowiedzieć na pytanie postawione w zadaniu należy zdyskontować spodziewane zyski. Zakładamy dyskonto proste.
PV = 50 000 / (1 + 2*,08) + 100 000 / (1 + 3*,08) + 100 000 / (1 + 4*,08) + 70 000 / (1 + 5*,08) + 20 000 / (1 + 6*,08)
PV = 263 019,70 zł
Zdyskontowana wartość przyszłych zysków jest większa od kwoty inwestycji. Firma zatem powinna zakupić nową linię produkcyjną.
0 Komentarze.